Caso, eventi aleatori, azzardo, incertezza, probabilità, statistica. Qual è il rapporto tra questi concetti? Possono esserci utili nella vita di tutti i giorni?

Se il gioco d’azzardo e le scommesse hanno un così grande successo di pubblico, arrivando fino a creare dipendenze patologiche in alcuni giocatori, è probabilmente perché la fortuna, il caso e tutto quello che non si può spiegare hanno un fascino irresistibile sull’essere umano, fin dai tempi antichi. Non a caso la parola “aleatorio” viene dal latino alea, che significa dado, e la parola “azzardo” viene dall’arabo al hazar, traducibile ugualmente con la parola dado.

Quando un evento è imprevisto, imprevedibile, inspiegabile, esso nasconde qualcosa di misterioso o significa semplicemente che non sappiamo ancora  spiegarlo? Oppure il discorso è ancora più complesso?

Il caso (chiamato in gergo aleatorietà) è un concetto che tende a sfuggirci e ci interroga sulle nozioni filosofiche di sorte e destino. E se al contrario cercassimo di capire quello che le scienze ci dicono degli eventi aleatori? Con la matematica, ad esempio, è possibile farsi un’idea più concreta del caso.

La probabilità

Se il caso è un fenomeno imprevedibile, la probabilità ci viene in aiuto per decriptare alcuni eventi aleatori. Quando si lancia una moneta, possiamo prevedere se otterremo testa o croce? No di certo! Ma possiamo calcolare la probabilità di ottenere, per esempio, testa.

Il calcolo è semplice: basta calcolare il numero di casi favorevoli (1=testa) diviso il numero di casi possibili (2=testa+croce). Quindi abbiamo una probabilità su due di ottenere testa. Altro esempio: lanciando un dado a  6 facce, abbiamo una probabilità su sei di ottenere la cifra 3, per esempio, e tre possibilità su sei (quindi una su due) di ottendere un numero pari.

Una semplice esperienza permette di vedere come certi eventi aleatori abbiano una maggiore probabilità di verificarsi rispetto ad altri, a lungo termine. Se prendiamo due dadi con tre facce blu e tre facce gialle ciascuno, e se teniamo il conto del numero di combinazioni giallo/giallo, blu/blu o verde (giallo/blu o blu/giallo) ottenute, vedremo che la combinazione verde si ottiene due volte più spesso che le altre. Il fenomeno è aleatorio, ma è possibile fare una previsione.

A volte una cattiva conoscenza delle probabilità legate ad un evento, ci fa credere che questo sia raro. Nel problema del collezionista di figurine, per esempio, si vede come all’inizio della collezione sia facile trovare nuove figurine e come in seguito questo diventi sempre più difficile. Si avrà l’impressione che la figurine mancanti siano più rare o introvabili. Invece si tratta di un effetto psicologico dovuto a una scorretta interpretazione del fenomeno. La spiegazione è piuttosto semplice: più si hanno figurine e maggiore è la probabilità di avere dei doppioni!

Altro esempio: siamo stupiti quando in una classe di 30 studenti due festeggiano il compleanno lo stesso giorno. Eppure questo fenomeno controintuitivo, chiamato paradosso del compleanno, ha più del 50% di probabilità di verificarsi ed è ben noto ai matematici.

La legge dei grandi numeri

Riprendendo gli esempi precedenti, non ci aspettiamo veramente di ottenere testa una volta su due lanciando una moneta o la cifra 3 una volta su sei lanciando un dado. Ma dopo numerosi lanci, come abbiamo visto con i dadi gialli e blu, la frequenza di apparizione del fenomeno ricercato si avvicinerà alla sua probabilità. In altre parole, più si tenta e più si possono predire i risultati. È questa la legge dei grandi numeri.

Questo principio è illustrato dalla famosa macchina di Galton. In una scatola a forma di triangolo si trova una tavola verticale sulla quale sono stati piantati dei chiodi in quinconce (come i punti neri del 5 su un dado). Facendo scendere dall’alto, una dopo l’altra, delle biglie, queste toccano i chiodi e a ogni piano possono passare aleatoriamente a destra o a sinistra.

La posizione finale di ogni biglia dipende dal percorso effettuato. C’è un solo modo, per una biglia, di arrivare nelle posizioni finali alle estremità sinistra e destra. Al contrario, diversi percorsi portano alle posizioni più centrali. Non si  può prevedere dove andrà ogni biglia individualmente, ma si può prevedere, con la legge dei grandi numeri, dove andrà la maggior parte delle biglie. La configurazione finale del “mucchio” di biglie è una curva a campana, il famoso grafico chiamato campana di Gauss.

Per calcolare il numero di percorsi possibili in una macchina di Galton si può usare il  triangolo di Pascal.

Infine se si considera la posizione dei numeri pari sulla macchina di Galton, si vedrà che formano un noto frattale, il triangolo di Sierpiński! Non è bella la matematica?

La legge dei grandi numeri ha importanti applicazioni: in medicina dà indicazioni sull’evoluzione di un’epidemia (ma non può dire niente sulla guarigione di un malato); in meteorologia non permette di prevedere che tempo farà domani ma permette di sapere quale sarà il tasso di precipitazioni o la temperatura media di una stagione.

Il calcolo combinatorio

Per contare il numero di modi di mescolare le carte all’interno di un mazzo o quante squadre diverse di 11 giocatori si possono comporre con 22 giocatori, si ricorre a una branca della probabilità, la combinatoria. Nel 1961 lo scrittore Raymond Queneau ha creato una “poesia combinatoria” chiamata Cent mille milliards de poèmes. Aveva scritto 10 sonetti di 14 versi. Ogni pagina era divisa in 14 parti e il lettore poteva scegliere di cominciare con un verso e continuare con un secondo a scelta e cosi via. Le combinazioni possibili sono 10 elevato alla 14esima, cioè centomila miliardi!

Mozart, d’altronde, proponeva un gioco simile con le battute al posto dei versi e le canzoni al posto dei sonetti. Lanciando un dado si sceglievano le battute e si componeva un pezzo musicale unico.

La statistica

Per quanto riguarda la statistica in generale e i sondaggi in particolare bisogna stare in guardia: delle trappole sono in agguato e possono falsare i risultati. Per contare le stelle nel cielo o gli animali della savana possiamo prendere un campione (la foto di una zona per esempio) ed estrarne delle informazioni sulla totalità del fenomeno da contare. Purtroppo secondo la scelta e la dimensione del campione i risultati possono essere anche molto diversi. Anche in questo caso bisogna usare la legge dei grandi numeri per avvicinarsi al massimo ai dati reali.

La teoria del caos 

In certi fenomeni, come il lancio della moneta, di un dado o la traiettoria della biglia nel flipper, non è propriamente il caso a determinare i risultati. Questi sarebbero spiegabili con  leggi fisiche, in teoria, ma in pratica calcoli sono troppo complessi. La forte dipendenza dalle condizioni iniziali rende questi giochi imprevedibili e caotici. Vengono allora considerati come casuali.

Questo campo della matematica è affascinante e fondamentale per studiare i fenomeni naturali che hanno le stesse proprietà del caso, come il meteo o lo spostamento di una molecola nello spazio (moto browniano).

Inoltre il carattere aleatorio di certi elementi crea una confusione utile in diversi settori, come ad esempio la crittografia e i messaggi segreti.

Questo articolo, scritto in seguito ad una mia visita alla mostra Faites vos jeux ! Quand les maths s’en mêlent in questo momento al Palais de la Découverte di Parigi, è stato pubblicato in francese sur giornale di scienza per ragazzi Cosinus, Edizioni Faton.